Mathématiques : deux lycéennes américaines ont peut-être découvert une preuve inédite du théorème de Pythagore

Cela pourrait être une petite révolution dans l’univers des mathématiques ! Calcea Johnson et Ne’Kiya Jackson, deux lycéennes américaines ont peut-être découvert une façon de démontrer le théorème de Pythagore grâce à la trigonométrie, en contredisant le raisonnement circulaire traditionnel : une prouesse que les mathématiciens pensaient jusque-là impossible.

Le théorème de Pythagore et la trigonométrie, qu’est ce que c’est ?

Le terme “trigonométrie” vient des mots grecs trigonon (triangle) et metron (mesurer) : en mathématiques, cette sous-discipline de la géométrie consiste à étudier les rapports entre les mesures des angles et les mesures des longueurs dans un triangle rectangle. Cela permet de simplifier la résolution de problèmes géométriques en calculant des distances que l’on ne peut habituellement pas mesurer. Le triangle est d’ailleurs la seule figure géométrique qui bénéficie de sa propre discipline car toutes les figures polygonales peuvent être découpées en triangles afin d’être étudiées (les premières cartes notamment étaient basées sur une triangulation du territoire). Les trois principaux rapports trigonométriques obtenus lorsque l’on divise un côté par un autre côté d’une triangle rectangle sont le sinus, le cosinus et la tangente. 

Le théorème de Pythagore est quant à lui un théorème de trigonométrie qui s’intéresse précisément aux longueurs des côtés d’un triangle rectangle. Cette règle mathématique aujourd’hui bien connue des collégiens affirme que : « Si un triangle est rectangle, le carré de l’hypoténuse (le plus long côté, opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés » (a² +b² =c²).

Une version géométrique du théorème : l’aire du grand carré bleu ciel est la somme des aires des deux autres carrés / wikimedia commons

Quelle est cette découverte qui pourrait contredire le “raisonnement circulaire” ?

Ce théorème de Pythagore a pu être prouvé des centaines de fois. Toutefois, comme le rappelle The Guardian, les mathématiciens considèrent que : “toute prétendue preuve du théorème de Pythagore qui utilise la trigonométrie constitue une erreur logique connue sous le nom de raisonnement circulaire (un terme utilisé lorsque quelqu’un essaie de valider une idée avec l’idée elle-même). Or, dans leur communiqué, les deux lycéennes affirment avoir réussi à utiliser la trigonométrie en se basant sur la loi des sinus : 

“Au cours des 2000 années qui se sont écoulées depuis la découverte de la trigonométrie, on a toujours supposé que toute prétendue preuve du théorème de Pythagore basée sur la trigonométrie devait être circulaire. En fait, dans le livre contenant la plus grande collection connue de preuves (La proposition de Pythagore d’Elisha Loomis), l’auteur déclare catégoriquement qu' »il n’y a pas de preuves trigonométriques, car toutes les formules fondamentales de la trigonométrie sont elles-mêmes basées sur la vérité du théorème de Pythagore.” Mais ce n’est pas tout à fait vrai : dans notre conférence, nous présentons une nouvelle preuve du théorème de Pythagore qui est basée sur un résultat fondamental en trigonométrie – la loi des sinus – et nous montrons que la preuve est indépendante de l’identité trigonométrique de Pythagore”. 

Pour ces deux adolescentes, l’opportunité de partager cette découverte est un « sentiment sans précédent » : « Les gens ne s’attendent pas à ce que des jeunes puissent faire cela. Ils pensent qu’il faut obligatoirement être un adulte pour y arriver”. Les deux jeunes étudiantes, qui souhaitent poursuivre des carrières en génie de l’environnement et en biochimie, ont également remercié leurs professeurs de les avoir mises au défi de réaliser un tel exploit : « Nous avons de très bons professeurs« . 

La directrice exécutive de l’American Mathematical Society, Catherine Roberts, encourage désormais les étudiantes à faire examiner leur travail par des spécialistes : « Les membres de notre communauté peuvent examiner leurs résultats pour déterminer si leur preuve est une contribution correcte à la littérature mathématique ». Affaire à suivre !

Le saviez-vous ? Pythagore est connu pour le célèbre théorème qui porte son nom mais ce dernier existait déjà bien avant lui !

crédit photo : © Image issue de Live Science : Calcea Johnson et Ne'Kiya Jackson ont présenté leurs conclusions le 18 mars lors de la réunion de la section sud-est du printemps de l'American Mathematical Society (AMS).(Crédit image : capture d'écran YouTube de WWL-TV)